Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên trong cộng đồng ViOLET, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu chưa đăng ký, hãy đăng ký thành viên tại đây hoặc xem phim hướng dẫn tại đây
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên trái.
Để có thể gửi bài viết, nêu ý kiến trao đổi tại trang riêng, quý vị phải là thành viên chính thức, quý vị bấm vào dòng chữ "gia nhập trang này" ở góc bên phải phía trên cùng của trang web.
Đa thức
- 0 / 0
-
Nguồn:
Người gửi: Đỗ Hoài Nam (trang riêng)
Ngày gửi: 19h:38' 29-04-2009
Dung lượng: 131.2 KB
Số lượt tải: 14
Người gửi: Đỗ Hoài Nam (trang riêng)
Ngày gửi: 19h:38' 29-04-2009
Dung lượng: 131.2 KB
Số lượt tải: 14
Số lượt thích:
0 người
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐA THỨC VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Đỗ Hoài Nam
Cho đa thức
Ta gọi số là nghiệm của đa thức nếu .
Định lí Bêdu : Cho đa thức có bậc , phần dư trong phép chia cho là .
Chứng minh : Vì có bậc một nên dư trong phép chia cho là một số .
Ta có
Thay ta được
Hệ quả 1: là nghiệm của khi và chỉ khi chia hết cho .
Nhận xét 1 : Một đa thức bậc nếu có nhiều hơn nghiệm thì đa thức đó đồng nhất với đa thức .
Chứng minh : Với ta chứng minh rằng có nghiệm thì . Thật vậy, giả sử có nghiệm là . Khi đó , mà có bậc là và có bậc là , cho nên (
Nhận xét 2 : Tồn tại duy nhất đa thức (với là hằng số khác 0) thoả .
Chứng minh : Giả sử và thoả . Ta chứng minh rằng . Thật vậy, ta đặt
Khi đó tức là các là nghiệm của . Mà có bậc không quá và có tới nghiệm nên suy ra hay (
Hệ quả 2 : Tồn tại duy nhất đa thức thoả .
Nhận xét 3 : Tồn tại duy nhất đa thức (với là hằng số và ) thoả .
Chứng minh : Giả sử và thoả . Ta chứng minh rằng . Thật vậy, ta đặt
Khi đó và dễ thấy tức là 0 và các là nghiệm của . Mà có bậc không quá và có tới nghiệm nên suy ra hay (
Sau đây ta hãy xét một vài ví dụ :
Ví dụ 1: Tìm tất cả các đa thức có dạng thoả .
Giải : Đặt . Khi đó , theo hệ quả 2 thì và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán. Do đó (
Ví dụ 2: Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Tính .
Giải: Đặt . Khi đó đa thức thỏa . Theo nhận xét 2 thì ta có và do đó (
Ví dụ 3: Cho đa thức thoả điều kiện . Chứng minh rằng là một nghiệm của .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì do đó .
Vậy là một nghiệm của (
Ví dụ 4: Cho đa thức thoả điều kiện . Chứng minh rằng chia hết cho hoặc .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì ta có . Do đó và . Nếu thì nên là một nghiệm của và theo hệ quả 1 thì chia hết cho . Nếu thì nên là một nghiệm của và theo hệ quả 1 thì chia hết cho (
Ví dụ 5: Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Tính .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì do đó (
Ví dụ 6: Tìm tất cả các đa thức có dạng biết rằng có tập nghiệm là
Giải: Đặt . Khi đó có tập nghiệm là và có hệ số tự do là nên theo nhận xét 3 ta có và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán (
Ví dụ 7: Tìm tất cả các đa thức có dạng và là hằng số biết rằng
Giải : Đặt . Khi đó thoả điều kiện và hệ số tự do của là . Theo nhận xét 3 ta có và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán (
Ví dụ 8: Cho và là hằng số biết rằng . Chứng minh rằng
Giải :Đặt . Khi đó thoả điều kiện và có hệ số tự do là . Theo nhận xét 3 ta có . Do đó . Suy ra nhận và làm nghiệm, cho nên ta có (
Như vậy theo nhận xét 2 và 3 thì việc giải quyết các bài toán có dạng trên phụ thuộc vào việc chọn đa thức . Đa thức được chọn phải có dạng : , với là đa thức có bậc nhỏ hơn và thoả . Việc chọn đa thức như thế xin nhường cho bạn đọc.
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc :
Bài 1 : Cho đa thức chia hết cho và thoả . Tìm hệ số
Bài 2 : Tìm tất cả các đa thức bậc 5 có hệ số của là 2 và hệ số tự do là . Biết rằng thoả các điều kiện sau :
Bài 3 : Tìm tất cả các đa thức bậc 7 có hệ số của là 1 và thoả
Bài 4 : Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng là một nghiệm của .
Bài 5 : Cho đa thức
Đỗ Hoài Nam
Cho đa thức
Ta gọi số là nghiệm của đa thức nếu .
Định lí Bêdu : Cho đa thức có bậc , phần dư trong phép chia cho là .
Chứng minh : Vì có bậc một nên dư trong phép chia cho là một số .
Ta có
Thay ta được
Hệ quả 1: là nghiệm của khi và chỉ khi chia hết cho .
Nhận xét 1 : Một đa thức bậc nếu có nhiều hơn nghiệm thì đa thức đó đồng nhất với đa thức .
Chứng minh : Với ta chứng minh rằng có nghiệm thì . Thật vậy, giả sử có nghiệm là . Khi đó , mà có bậc là và có bậc là , cho nên (
Nhận xét 2 : Tồn tại duy nhất đa thức (với là hằng số khác 0) thoả .
Chứng minh : Giả sử và thoả . Ta chứng minh rằng . Thật vậy, ta đặt
Khi đó tức là các là nghiệm của . Mà có bậc không quá và có tới nghiệm nên suy ra hay (
Hệ quả 2 : Tồn tại duy nhất đa thức thoả .
Nhận xét 3 : Tồn tại duy nhất đa thức (với là hằng số và ) thoả .
Chứng minh : Giả sử và thoả . Ta chứng minh rằng . Thật vậy, ta đặt
Khi đó và dễ thấy tức là 0 và các là nghiệm của . Mà có bậc không quá và có tới nghiệm nên suy ra hay (
Sau đây ta hãy xét một vài ví dụ :
Ví dụ 1: Tìm tất cả các đa thức có dạng thoả .
Giải : Đặt . Khi đó , theo hệ quả 2 thì và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán. Do đó (
Ví dụ 2: Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Tính .
Giải: Đặt . Khi đó đa thức thỏa . Theo nhận xét 2 thì ta có và do đó (
Ví dụ 3: Cho đa thức thoả điều kiện . Chứng minh rằng là một nghiệm của .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì do đó .
Vậy là một nghiệm của (
Ví dụ 4: Cho đa thức thoả điều kiện . Chứng minh rằng chia hết cho hoặc .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì ta có . Do đó và . Nếu thì nên là một nghiệm của và theo hệ quả 1 thì chia hết cho . Nếu thì nên là một nghiệm của và theo hệ quả 1 thì chia hết cho (
Ví dụ 5: Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Tính .
Giải : Đặt . Khi đó . Theo nhận xét 2 thì do đó (
Ví dụ 6: Tìm tất cả các đa thức có dạng biết rằng có tập nghiệm là
Giải: Đặt . Khi đó có tập nghiệm là và có hệ số tự do là nên theo nhận xét 3 ta có và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán (
Ví dụ 7: Tìm tất cả các đa thức có dạng và là hằng số biết rằng
Giải : Đặt . Khi đó thoả điều kiện và hệ số tự do của là . Theo nhận xét 3 ta có và là đa thức duy nhất thoả yêu cầu bài toán (
Ví dụ 8: Cho và là hằng số biết rằng . Chứng minh rằng
Giải :Đặt . Khi đó thoả điều kiện và có hệ số tự do là . Theo nhận xét 3 ta có . Do đó . Suy ra nhận và làm nghiệm, cho nên ta có (
Như vậy theo nhận xét 2 và 3 thì việc giải quyết các bài toán có dạng trên phụ thuộc vào việc chọn đa thức . Đa thức được chọn phải có dạng : , với là đa thức có bậc nhỏ hơn và thoả . Việc chọn đa thức như thế xin nhường cho bạn đọc.
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc :
Bài 1 : Cho đa thức chia hết cho và thoả . Tìm hệ số
Bài 2 : Tìm tất cả các đa thức bậc 5 có hệ số của là 2 và hệ số tự do là . Biết rằng thoả các điều kiện sau :
Bài 3 : Tìm tất cả các đa thức bậc 7 có hệ số của là 1 và thoả
Bài 4 : Cho đa thức thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng là một nghiệm của .
Bài 5 : Cho đa thức
Tài liệu rất hay, cảm ơn thầy Nam.
↓ CHÚ Ý: Bài giảng này được nén lại dưới dạng RAR và có thể chứa nhiều file. Hệ thống chỉ hiển thị 1 file trong số đó, đề nghị các thầy cô KIỂM TRA KỸ TRƯỚC KHI NHẬN XÉT ↓
Ý kiến trao đổi