Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn (O) đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Gọi P là giao điểm thứ hai của CD và đường tròn (O).

            Chứng minh:

a) BC = BP.

b) Tứ giác CBMD nội tiếp.

c) DB . DC = DN . AC

Hình vẽ:

Hướng dẫn:

a) Chứng minh góc bằng nhau để suy ra tam giác BCP cân.

b) Chứng minh

c) Chứng minh tam giác đồng dạng suy ra đpcm.

Bài 2: Cho đường tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn, cát tuyến từ A cắt đường tròn  tại B và C (B nằm giữa A và C, B và N nằm cùng phía đối với AO) . Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F

Chứng minh 

a) Năm điểm A, M, I, O, N nằm trên một đường tròn.

b) Tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp.

c) E là trung điểm của BF.

Hình vẽ: 

Hướng dẫn:

a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh EI // FC.

Bài 3:

Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông ABCD, M là tiếp điểm của AB với đường tròn. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại I cắt các cạnh BC và CD tại E và F.
Chứng minh:
a) Tam giác BOE đồng dạng với tam giác DFO.
b) ME song song với AF.

Hình vẽ:

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau chứng minh góc EOF bằng 45 độ, suy ra tam giác BOE và tam giác DFO đồng dạng theo TH g - g.

b) Từ câu a suy ra

Suy ra

Suy ra tam giác BME đồng dạng với tam giác DFA theo TH c - g - c.

Từ đó dễ dàng suy ra

Bài 4:

Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Gọi (O) thay đổi luôn qua B và C, qua A kẻ các đường thẳng tiếp xúc với (O) tại E và F( E không trùng F). Gọi I là trung điểm của BC và N là giao của AO và EF. Đường thẳng FI cắt (O)  tại H. Chứng minh rằng:
    a) EH song  song với BC
    b) AN.AO không đổi.
    c) Tâm đường tròn qua ba điểm O, I, N luôn thuộc một đường thẳng cố định. 

Hình vẽ:

Hướng dẫn:

Câu a c/m hai góc so le trong bằng nhau là xong.

Câu b c/m AN.AO = AB.AC

Câu c gọi K là giao điểm của EF và AC. C/m tứ giác ONKI nội tiếp và K cố định suy ra tâm G của đường tròn qua O, N, I di chuyển trên trung trực của KI cố định.

 

 

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D, vẽ đường tròn (O) đường kính CD. Các tia BD và BC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai lần lượt tại E và M; Đoạn thẳng AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F (F nằm giữa A và E). Chứng minh:
a) Tứ giác ABCE nội tiếp;
b) CA là tia phân giác góc BCF;
c) AC là tia phân giác góc MAE;
d) Các đường thẳng AB; MD; CE đồng quy tại một điểm.

Hình vẽ:

Bài 6:

Cho hình vuông ABCD.Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng C). Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thẳng BC tại N
a) Gọi E là trung điểm của đoạn MN.Chứng minh rằng ba điểm D, B, E thẳng hàng.
b) Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều.

Câu a thì chứng minh tứ giác nội tiếp rồi suy ra góc NBE bằng 45 độ là xong.

Câu b thì để ý là tam giác ACE đã cân rồi thì sẽ suy ra được vị trí điểm M.

Bài 7:

Cho tam giác ABC nhọn,đường tròn (O) đường kính BC cắt AB,AC lần lượt tại E và D. BD cắt CE tại H. AH cắt BC ở I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). (M, N là các tiếp điểm).

Chứng minh:

a) CA.CD + BE.BA = BC²

b) chứng minh M, H, N thẳng hàng

d) Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a?

Hình vẽ:

@ Thùy. Bài của em thầy đưa đến mục này nha.

Thầy gợi ý để Thùy và các bạn làm nhé:

a) Chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra CA.CD + BE.BA = CI.BC + BI.BC = BC²

b) Chứng minh tam giác AHK đồng dạng với tam giác AOI suy ra HK vuông góc với OA mà MN vuông góc với AO suy ra M, H, N thẳng hàng.

c) Câu này dễ, không cần hướng dẫn. Hi hi hi.