Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hoặc một biểu thức là dạng toán các bạn thường gặp trong các kì thi, không chỉ ở bậc THCS mà sau này các bạn vẫn gặp ở bậc THPT. Tất nhiên ở mỗi bậc học, bài toán được đặt ra với các mức độ khác nhau. ở bài viết này xin bước đầu trao đổi với các bạn một chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải quyết loại toán này.

Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là :

* Với a, b ≥ 0 thì :
 và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đây chính là bất đẳng thức Côsi trong trường hợp 2 số. Các bạn có thể suy từ bất đẳng thức hiển nhiên đúng :

* Với mọi a, b thì |a| + |b| ≥ |a + b| (**) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. Các bạn chỉ cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương và hiển nhiên đúng.

* Với các số a, b, c, d tùy ý ta có :

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² (***) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai cặp số. Các bạn có thể suy ngay ra bất đẳng thức này dựa vào hằng đẳng thức :

(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

* Cho a ≠ 0,

Do đó :

- Nếu a > 0 thì f(x) ≥ (4ac - b²)/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) .

- Nếu a < 0 thì f(x) ≤ (4ac - b²)/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) .

Bây giờ các bạn theo dõi các thí dụ :

Thí dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Lời giải : Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết được :

áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :
 với mọi x.

Đẳng thức xảy ra

Vậy y đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi x = 0.

Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y = |x - 2003| + |x + 2003|

Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta có :

y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003|

≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2003 - x)(x + 2003) ≥ 0
Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003.

Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất là 4006
khi và chỉ khi - 2003 ≤ x ≤ 2003 .

Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 và b = x - 2003 thì ... chưa được gì. Bởi khi đó ta có :
y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x| .

Vì 2|x| không phải là hằng số nên dù đẳng thức có xảy ra thì cũng không kết luận được gì về giá trị nhỏ nhất của y.

Thí dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

y = - 2001 x² + 2002 x - 2003.

Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết :

với mọi x.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001.

Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, các bạn có thể tạm coi đa thức là một ẩn với một ẩn nào đó và thực hiện cách biến đổi tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toán.

Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = x² + y² - xy - x + y + 1

Lời giải : Ta viết :

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3.

Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết :

P = 1/2.(2x² + 2y² - 2xy - 2x + 2y + 2)

= 1/2.[ (x - y)² + (x - 1)² + (y + 10² ] ≥ 0 với mọi x, y.

Tuy nhiên bất đẳng thức trên không thể trở thành đẳng thức. Ta không được gì, ngoài việc biết được giá trị nhỏ nhất của P, nếu tồn tại sẽ là một số ... dương (!). Các bạn chớ thấy bất đẳng thức trên không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P không có giá trị nhỏ nhất (?).

Thí dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

Lời giải : Tập xác định của hàm số là 0 ≤ x ≤ 2 .

Ta có :
 với mọi x thuộc tập xác định. Vì y ≥ 0 nên từ y² ≥ 2 => y ≥ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 2. Do đó GTNN của y là .

áp dụng bất đẳng thức (***) với :

Do đó GTLN của y là 2.

Mức độ khó hơn, các bạn có thể tham khảo các bài toán dưới đây :

Thí dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y = x⁴ - 4x³ + 8x.

Lời giải : Ta có :

y = (x⁴ - 4x³ + 4x²) - 4(x² - 2x)

= (x² - 2x)² - 4(x² - 2x)

= [ (x² - 2x) - 2]² - 4 ≥ - 4 với mọi x.

Đẳng thức xảy ra :

Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4, khi và chỉ khi

Thí dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

Lời giải : Căn thức có nghĩa khi và chỉ khi 4 - x² ≥ 0
Tương đương với x² ≥ 4 hay |x| ≤ 2
Tương đương - 2 ≤ x ≤ 2 .

Ta có :

áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x² và b = 4 - x² ta có

Từ (1) và (2) ta có |y| ≤ 2 => - 2 ≤ y ≤ 2

GTLN của y là 2 

GTNN của y là -2 

Các bạn hãy tự luyện tập thêm qua các bài toán :

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = x² + 2y² - 2xy + 2(x - 2y + 1)

4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Phùng Kim Dung
(Trường Hà Nội - Amsterdam)